Invertibility Av En Bevegelig Gjennomsnitt Prosess

2 1 Moving Average Models MA modeller. Tidsseriemodeller kjent som ARIMA-modeller kan omfatte autoregressive termer og eller bevegelige gjennomsnittlige termer. I uke 1 lærte vi en autoregressiv term i en tidsseriemodell for variabelen xt er en forsinket verdi på xt For eksempel , et lag 1 autoregressivt uttrykk er x t-1 multiplisert med en koeffisient Denne leksjonen definerer glidende gjennomsnittlige termer. En glidende gjennomsnittlig term i en tidsseriemodell er en fortid feil multiplikert med en koeffisient. La oss oversette N 0, sigma 2w, betydning at wt er identisk, uavhengig distribuert, hver med en normalfordeling med gjennomsnittlig 0 og samme varians. Den 1 st ordningsgjøre gjennomsnittlig modell, betegnet med MA 1 er. xt mu wt theta1w. Den 2. ordre flytte gjennomsnittlig modell, betegnet av MA 2 er. xt mu wt theta1w theta2.Den q ordreberegning av gjennomsnittlig modell, betegnet med MA q er. xt mu wt theta1w theta2w prikker thetaq. Note Mange lærebøker og programvare definerer modellen med negative tegn før betingelsene. Dette endrer ikke de generelle teoretiske egenskapene til modellen, selv om den ikke flipper de algebraiske tegnene på estimerte koeffisientverdier og ubetingede vilkår i formler for ACFer og avvik Du må sjekke programvaren din for å verifisere om negative eller positive tegn har blitt brukt for å skrive riktig estimert modell R bruker positive tegn i sin underliggende modell, slik vi gjør her. Theoretiske egenskaper av en tidsrekke med en MA 1-modell. Merk at den eneste ikke-nullverdien i teoretisk ACF er for lag 1 Alle andre autokorrelasjoner er 0 Således er en prøve-ACF med en signifikant autokorrelasjon bare ved lag 1 en indikator på en mulig MA 1-modell. For interesserte studenter, Bevis på disse egenskapene er et vedlegg til denne utleveringen. Eksempel 1 Anta at en MA 1-modell er xt 10 wt 7 w t-1 hvor overskuddet N 0,1 Altså koeffisienten 1 0 7 Th e teoretisk ACF er gitt av. Et plott av denne ACF følger. Plottet som nettopp er vist er den teoretiske ACF for en MA 1 med 1 0 7 I praksis fikk en prøve t vanligvis et slikt klart mønster. Ved hjelp av R simulerte vi n 100 Eksempelverdier ved hjelp av modellen xt 10 wt 7 w t-1 hvor w t. iid N 0,1 For denne simuleringen følger en tidsserier av prøvedataene. Vi kan ikke fortelle mye fra denne plottet. Prøven ACF for den simulerte data følger Vi ser en spike ved lag 1 etterfulgt av generelt ikke signifikante verdier for lags fortid 1 Merk at prøven ACF ikke samsvarer med det teoretiske mønsteret til den underliggende MA 1, som er at alle autokorrelasjoner for lags forbi 1 vil være 0 A forskjellig prøve ville ha en litt annen prøve-ACF som vist nedenfor, men vil trolig ha de samme brede funksjonene. Deoretiske egenskaper av en tidsrekkefølge med en MA 2-modell. For MA 2-modellen er teoretiske egenskaper følgende. Merk at den eneste ikke-null Verdiene i teoretisk ACF er for lags 1 og 2 Autocorrelat ioner for høyere lags er 0 Så, en prøve-ACF med signifikante autokorrelasjoner ved lags 1 og 2, men ikke-signifikante autokorrelasjoner for høyere lags indikerer en mulig MA 2-modell. Nid koeffisientene er 1 0 5 og 2 0 3 Fordi dette er en MA 2, vil den teoretiske ACF ha null nullverdier bare ved lags 1 og 2.Values ​​av de to ikke-autokorrelasjonene er. En plot av den teoretiske ACF følger. Som nesten alltid er tilfellet, vil prøvedata vunnet t oppføre seg ganske så perfekt som teori Vi simulerte n 150 utvalgsverdier for modellen xt 10 wt 5 w t-1 3 w t-2 hvor w t. iid N 0,1 Tidsseriens plott av dataene følger Som med tidsseriens plott for MA1-prøvedataene, kan du ikke fortelle mye av det. Prøven ACF for de simulerte dataene følger Mønsteret er typisk for situasjoner der en MA 2-modell kan være nyttig. Det er to statistisk signifikante pigger på lags 1 og 2 etterfulgt av ikke - - sviktige verdier for andre lag. Merk at på grunn av prøvetakingsfeil ikke samsvarte ACF det teoretiske mønsteret nøyaktig. ACF for General MA q Models. A egenskapen til MA q - modeller generelt er at det er ikke-null autokorrelasjoner for de første q lags og autocorrelations 0 for alle lags q. Non-uniqueness av forbindelse mellom verdier på 1 og rho1 i MA 1-modell. I MA 1-modellen, for en verdi på 1, gir den gjensidige 1 1 samme verdi. For eksempel, bruk 0 5 for 1 og bruk deretter 1 0 5 2 for 1 Du får rho1 0 4 i begge tilfeller. For å tilfredsstille en teoretisk begrensning som kalles invertibilitet begrenser vi MA 1-modeller til å ha verdier med absolutt verdi mindre enn 1 I eksemplet som er gitt, vil 1 0 5 være en tillatelig parameterverdi, mens 1 1 0 5 2 ikke vil. Invertibility av MA modeller. En MA-modell sies å være invertibel hvis den er algebraisk tilsvarer en konvergerende uendelig rekkefølge AR-modell. Ved konvertering mener vi at AR-koeffisientene reduseres til 0 når vi beveger oss tilbake i tiden. Invertibility er en begrensning programmert inn i tidsserier programvare som brukes til å estimere coeff ICE-modeller med MA-vilkår Det er ikke noe vi ser etter i dataanalysen. Ytterligere informasjon om inverterbarhetsbegrensningen for MA 1-modeller er gitt i vedlegget. Avansert teoretisk merknad For en MA q-modell med en spesifisert ACF, er det bare en inverterbar modell Den nødvendige betingelsen for inverterbarhet er at koeffisientene har verdier slik at ligningen 1- 1 y - qyq 0 har løsninger for y som faller utenfor enhetens sirkel. R Kode for eksemplene. I eksempel 1 plottet vi teoretisk ACF av modellen xt 10 wt 7w t-1 og deretter simulert n 150 verdier fra denne modellen og plottet prøve tidsseriene og prøven ACF for de simulerte data R-kommandoene som ble brukt til å plotte den teoretiske ACF var. acfma1 ARMAacf ma c 0 7, 10 lags av ACF for MA 1 med theta1 0 7 lags 0 10 skaper en variabel som heter lags som varierer fra 0 til 10 plot lags, acfma1, xlim c 1,10, ylab r, type h, hoved ACF for MA 1 med theta1 0 7 abline h 0 legger en horisontal akse til plottet. Th e første kommandoen bestemmer ACFen og lagrer den i en gjenstand som heter acfma1 vårt valg av navn. Plot-kommandoen 3. kommando-plottene lags versus ACF-verdiene for lags 1 til 10 ylab-parameteren merker y-aksen og hovedparameteren setter en tittel på plottet. For å se de numeriske verdiene til ACF, bruk bare kommandoen acfma1. Simuleringen og plottene ble gjort med følgende kommandoer. liste ma c 0 7 Simulerer n 150 verdier fra MA 1 x xc 10 legger til 10 for å lage gjennomsnitt 10 Simuleringsstandarder betyr 0 plot x, type b, hoved Simulert MA 1 data acf x, xlim c 1,10, hoved ACF for simulert prøve-data. I eksempel 2 skisserte vi den teoretiske ACF av modellen xt 10 wt 5 w t-1 3 w t-2 og simulerte deretter n 150 verdier fra denne modellen og plottet prøve tidsserien og prøven ACF for den simulerte data R-kommandoene som ble brukt var. acfma2 ARMAacf ma c 0 5,0 3, acfma2 lags 0 10 plot lags, acfma2, xlim c 1,10, ylab r, type h, hoved ACF for MA 2 med theta1 0 5, theta2 0 3 abline h 0 liste ma c 0 5, 0 3 x xc 10 plot x, type b, hoved Simulert MA 2-serie acf x, xlim c 1,10, hoved ACF for simulert MA 2 Data. Appendix Bevis på egenskaper til MA 1.For interesserte studenter, her er det bevis på teoretiske egenskaper til MA 1-modellen. Varianttekst xt tekst mu wt theta1 w 0 tekst wt tekst theta1w sigma 2w theta 21 sigma 2w 1 theta 21 sigma 2When h 1 er det forrige uttrykket 1 w 2 For noen h 2 , forrige uttrykk 0 Årsaken er at ved definisjon av uavhengighet av Wt E wkwj 0 for noen kj Videre, fordi wt har betyde 0, E wjwj E wj 2 w 2.For en tidsserie. Bruk dette resultatet for å få ACF gitt ovenfor. En inverterbar MA-modell er en som kan skrives som en uendelig rekkefølge AR-modell som konvergerer slik at AR-koeffisientene konvergerer til 0 mens vi beveger oss uendelig tilbake i tid. Vi skal demonstrere inverterbarhet for MA 1-modellen. substituttforhold 2 for w t-1 i ligning 1. 3 zt wt theta1 z - theta1w wt theta1z - theta 2w. At tiden t-2 ligning 2 blir. Vi erstatter deretter forhold 4 for w t-2 i ligning 3. zt wt theta1 z - theta 21w wt theta1z - theta 21 z - theta1w wt theta1z - theta1 2z theta 31.If vi skulle fortsette uendelig, ville vi få den uendelige rekkefølgen AR - modellen. Zt wt theta1 z - theta 21z theta 31z - theta 41z prikker. Merk at hvis 1 1, vil koeffisientene som multipliserer lagene av z, øke uendelig i størrelse når vi beveger seg tilbake i tid. For å forhindre dette, trenger vi 1 1 Dette er betingelsen for en inverterbar MA 1 modell. Infinite Order MA modell. I uke 3 ser vi at en AR 1-modell kan konverteres til en uendelig rekkefølge MA-modell. xt - mu wt phi1w phi 21w prikker phi k1 w prikker sum phi j1w. Denne summeringen av tidligere hvite støybetingelser er kjent som en årsakssammenstilling av en AR 1 Med andre ord er xt en spesiell type MA med et uendelig antall termer går tilbake i tid Dette kalles en uendelig ordre MA eller MA En endelig ordre MA er en uendelig orden AR og en hvilken som helst endelig ordre AR er en uendelig ordre MA. Recall i uke 1, bemerket vi at et krav til en stasjonær AR 1 er at 1 1 La oss beregne Var xt ved hjelp av kausalrepresentasjonen. Dette siste trinnet bruker et grunnleggende faktum om geometriske serier som krever phi1 1 ellers ser serien ut. Invertibility of MA q Processes. Just som vi kan definere en uendelig rekkefølge glidende gjennomsnittlig prosess Vi kan også definere en ubegrenset autoregressiv prosess, AR Det viser seg at enhver stasjonær MA q-prosess kan uttrykkes som en AR-prosess. E g antar at vi har en MA 1-prosess med 0. Fortsett på denne måten, etter n trinn vi har Som et resultat har vi. Det viser seg at hvis 1 1 t høne denne uendelige serien konvergerer til en endelig verdi. Slike MA q-prosesser kalles invertible. Property 1 Hvis 1 1 er MA 1-prosessen inverterbar. Realstatistikkfunksjon Real-ressurspakken leverer følgende array-funksjon hvor R1 er et q 1-område inneholde theta-koeffisientene i polynomet hvor q er i første posisjon og 1 er i siste posisjon. Marot R1 returnerer et q3-område hvor hver rad inneholder en rot, og hvor den første kolonnen består av den reelle delen av røttene, Den andre kolonnen består av den imaginære delen av røttene, og den tredje kolonnen inneholder den absolutte verdien av røttene. Denne funksjonen kalles ROOTS-funksjonen beskrevet i Roots of a Polynomial Note som, i likhet med ROOTS-funksjonene, kan MARoots-funksjonen ta Følg valgfrie argumenter. prec nøyaktigheten av resultatet, dvs. hvor nær null er akseptabelt. Denne verdien er standard 0 00000001.iter det maksimale antall iterasjonen som utføres når du utfører Bairst ow s Metode Standard er 50.r, s de opprinnelige frøverdiene når du bruker Bairstow s Metode Disse standardene er null. Eksempel 1 Bestem om følgende MA 3-prosess er invertibel. Vi setter opp arrayformelen MARoots B3 B5 i område D3 F5 til få resultatene vist i figur 1.Figur 1 Roter av en MA 3-prosess. Vi ser at de tre røttene til den karakteristiske ligningen er - 605828 1 23715 i - 605828 1 23715 i og -0 87832 Siden absolutt verdien av den virkelige rot er mindre enn 1, konkluderer vi at prosessen ikke er invertible. On invertibility forholdene for å flytte gjennomsnittlige prosesser. Anderson 3 utledede forhold for den generelle Moving Average prosessen, av rekkefølge q, å være invertibel eller borderline non-invertible Han kalte betingelsene som akseptabilitetsbetingelser. Vis abstrakte Skjul abstrakt ABSTRAKT I dette papiret presenterer vi en omvendt form for autoregressive Integrerte Moving Gjennomsnittlige prosesser ARIMA av ulike ordre Undersøkelse ble utført på adferdsmønsteret av inverterbarhetsparameter for ARIMA p, d, q for forskjellige p og d Det var utledet at oppførselen av invertibility parameter avhenger av rekkefølgen av autoregressiv del p, rekkefølgen av integrert del d, positive og negative verdier av bevegelige gjennomsnittsparameter. Artikkel Jan 2011 Fremskritt i Anvendt Sannsynlighet. Olusola Samuel Makinde Olusoga Akin Fasoranbaku. Vis abstrakt Skjul abstrakt ABSTRAKT Spektralfaktoriseringsproblemet ble løst i Hallin 1984 for klassen av ikke-stasjonære m-variate MA q stokastiske prosesser, det vil si klassen av andre ordens q-avhengige prosesser. Det ble vist at en slik prosess generelt innrømmer en uendelig mq mq 1 2-dimensjonal familie av mulige MA q-representasjoner Denne rapporten omhandler inverterbarhetsegenskapene og asymptotisk oppførsel av disse MA q-modellene, i forbindelse med problemet med å produsere asymptotisk effektive prognoser. Inverterbare og borderline ikke-inverterbare modeller karakteriserer teoremer 3 1 og 3 2 Et kriterium er gitt Theorem 4 1 hvor det kan kontrolleres om en gitt MA-modell er en Wold-Cramr-dekomponering eller ikke, og det er vist Theorem 4 2 at under alle milde forhold er nesten alle MA-modeller asymptotisk identisk med noen Wold-Cramr-dekomponering Prognoseproblemet er undersøkt i detalj, og det er fastslått at det relevante invertibility-konseptet, med i forhold til asymptotisk prognoseffektivitet, er det vi definerer som Granger-Andersen invertibility i stedet for det klassiske invertibility-konseptet. Stilling 5 3 Egenskapene til dette nye invertibility-konseptet studeres og står i motsetning til de klassiske motpartens teorier 5 2 og 5 4 Numeriske eksempler er også behandlet seksjon 6, som illustrerer det faktum at ikke-inverterbare modeller kan gi asymptotisk effektive prognoser, mens inverterbare modeller, i noen tilfeller, kanskje ikke. De matematiske verktøyene i hele papiret er lineære forskjellekvasjoner Grønne matriser, tilknyttede operatører, dominerte løsninger mv. , og en matrisalgemisering av fortsatte fraksjoner. Artikkel mar 1986.Marc Hallin.